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Calcul de la SD d´une main de Blackjack

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Calcul de la SD d´une main de Blackjack

Dans la chronique "bankroll 1 : la variance (flatbet)" de Monsieur G, vous avez pu lire que l’écart-type applicable au Blackjack pour un certain nombre de mains se définit en moyenne comme 1,15 x (la racine carrée du nombre de mains). Voici comment démontrer cette SD égale à 1.15 pour une main, à partir d'un exemple de rapport de simulation et en s'aidant de The Theory of Blackjack de Peter Griffin.

 
Pour commencer, nous avons besoin de la formule mathématique de la variance au Blackjack :
 

V = somme (retour de mise² x fréquences)

 
Comme vous le constatez, un carré est présent dans la formule. De notre côté, ce sont des retours de mise qui seront élevés au carré, mais qu'en serait-il si nous devions, pour une raison ou autre, étudier des longueurs en mètre ? Elles deviendraient des mètres carrés (m²) et exprimeraient une surface, plus une distance. Voilà pourquoi nous nous intéressons, au Blackjack comme en statistiques, à l'écart-type qui est la racine carrée de la variance.
 
Passons maintenant aux résultats de simulation. Je ne m'arrêterais pas sur les paramètres exacts de la simulation, mais sachez que c'est une partie Française type qui a été simulée sur quelques centaines de milliers de tours, avec 1 unité misée à chaque fois, le joueur jouant la SB.
Voici les résultats :
 
Résultats Fréquences %
Gagné 33.19
Double gagné 5.06
Perdu 41.07
Double perdu 3.39
Blackjack 4.43
Egalité 8.25
Abandon 4.62
 
Au passage, j'attire votre attention sur la fréquence des mains perdues....Ceci démontre parfaitement que le rôle de la SB, contrairement à ce que Mr Tout-le-monde le pense, n'est absolument pas de faire le plus de "21" possible, ou de gagner le plus de main possible. Ceci est aussi vrai que d'affirmer que le comptage de cartes sert à deviner la prochaine carte qui sortira....La SB limite simplement la casse.
 
Revenons à ces chiffres et replaçons-les en les exprimant en termes de "retour de mise" :
 
Retour de mise Description Fréquences
1 Main gagnée 0.3319
2 Main gagnée sur un double 0.0506
-1 Main perdue  0.4107
-2 Main perdue sur un double 0.0339
1.5 Blackjack payant 3/2 0.0443
0 Égalité, ni perte ni gain 0.0825
-0.5 Abandon, ½ de la mise est perdue 0.0462
 
Et en résumé :
 
Retour de mise Fréquences Retour de mise²
 +/-1 0.7426 1
+/-2
0.0845 4
+/-1.5
0.0443 2.25
0
0.0825 0
-0.5
0.0462 0.25
 
Une fois cela fait, et accessoirement, nos "retours de mise au carré" déterminés, passons à notre formule sous forme de tableau :
 
Fréquences (F) Retour de mise² (Rm) (F) x (Rm²)
0.7426
1 0.7426
0.0845
4
0.338
0.0443
2.25 0.0996
0.0825
0 0
0.0462
0.25 0.0115
 
Total
1.1917
 
 
Le résultat de notre formule donne V = 1.1917 que nous arrondirons à 1.20. 
Sachant que SD = rac.carrée de (V), notre SD isi est égale à 1.10Nous sommes donc parfaitement dans la moyenne annoncée de 1.15.
 
Cependant, une remarque m'a été faite par Monsieur G le jour où ce calcul a été fait : 
 
"Pour avoir une réponse juste il faudrait connaître la fréquence de tous les résultats possibles (gagne,perd,double,BJ,etc) et ce, pour chaque TC. De cette manière vous obtenez l'écart type moyen pour chacun des TC et la seule façon de trouver ces variables est de procéder à des simulations. Au final, vous n'allez pas calculer un bankroll différent pour chaque TC mais un seul pour la moyenne de l'écart type de tous les TC...qui sera prêt de 1.15, peut-être 1.16".
   

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