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Comment est calculée la stratégie de base ?

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Comment est calculée la stratégie de base ?

C'est le premier terme que vous lirez dans votre apprentissage, aussi profond soit-il : La statégie de base. Vous la retrouverez entre autres dans les chroniques "comptage 2 : compter les cartes" de Monsieur G et plus bas dans cette page. Ici, je vous invite à comprendre comment elle est calculée, à l'aide du livre de Stanford Wong Professionnal Blackjack mais en particulier avec celui de Peter Griffin The Theory of Blackjack

Stratégie de base : définition
"La stratégie de base est la meilleure façon de jouer sa main après un mélange, en supposant que vous ne voyez aucune autre carte que celle du croupier. Pour un non-compteur, la SB est la meilleure façon de jouer n’importe quelle main."
Stanford Wong - Professionnal Blackjack chapitre 2
"La stratégie de base est la stratégie qui maximise la moyenne des gains du joueur, ou espérance, en jouant une main contre un jeu complet restant. Ainsi, avec un nombre de deck donné et un ensemble de règles précises, il ne peut y avoir qu’une seule stratégie de base (SB), bien qu’il puisse effectivement y avoir quelques infimes variations (dues aux erreurs, aux simulations….). [...] La SB, donc, constitue tout un ensemble de règles sur les décisions à prendre, couvrant tous les choix possibles qui s’offrent au joueur, mais sans prendre en compte les cartes d’éventuels autres joueurs et sans prendre en compte les cartes déjà utilisées sur un tour précédent avant que la deck soit mélangée. Ces choix sont : spliter ou ne pas spliter, doubler ou ne pas doubler, et rester ou tirer une autre carte (Note : sans oublier l'abandon quand il est possible)."
Peter Griffin - The Theory of Blackjack chapitre2
 
Comment est-elle calculée ? 
 
Prenons par exemple un seul paquet de 52 cartes, le croupier reste sur un Soft17. Nous distribuons deux cartes pour le joueur et une seule pour le croupier : 16vs9, sachant que notre 16 est composé d'un 10 et d'un 6 (exemple de Peter Griffin dans son livre). Le croupier sera obligé de tirer une ou plusieurs cartes pour atteindre au moins un Soft17 où il devra s'arrêter. Le résultat du joueur, +1 il gagne la main / -1 il perd la main, dépendra donc du "bust" du croupier, c'est-à-dire que le joueur ne pourra gagner la main que si le croupier dépasse 21 puisqu'il ne peut y avoir égalité. Il faut donc établir les probabilités, sur les 49 cartes restantes, que le croupier bust, le joueur restant sur son 10-6 vs 9. Griffin annonce 566 possibilités pour que le croupier, partant d'un 9, fasse au moins 22 sans pouvoir s'arrêter sur un Soft17, par exemple : 
 
9-2-As-T = 22 (T pour Ten soit 10-V-D-R)
9-7-6 = 22
9-2-As-As-As-As-8 = 23
... etc.
 
Une fois ces 566 possibilités "énumérées", il faut calculer leur probabilité :
 
9-2-As-T : (4/49) x (4/48) x (15/47)
9-7-6 : (4/49) x (3/48)
9-2-As-As-As-As-8 : (4/49) x (4/48) x (3/47) x (2/46) x (1/45) x (4/44)
...etc.
 
Après tous ces calculs, il s'avère ici que la probabilité de dépasser 21 pour le croupier est de 0.2304. Quelle est notre espérance mathématique ? Puisque nous gagnerons, pour chaque mise d'1€, 0.2304€ et que nous perdrons 0.7696€ (0.7696 est la probabilité que le croupier fasse un total compris entre 17 et 21 donc), notre espérance mathématique est de +0.2304 - 0.7696 = - 0.5392. Pour chaque euro misé, nous perdrons 0.54 centimes. 
 
De manière condensée :
 
Résultats possibles Proba. Produit
-1 0.2304 (- 0.2304)
+1 0.7696 +0.7696
  Somme = 1 Somme= 0.5392
 
Voici donc notre espérance si nous restons avec notre 10-6 contre 9 du croupier : -0.5392. Mais, puisque la SB est la meilleure façon de jouer sa main sans compter les cartes, il faut voir ce qu'il advient de notre 10-6 si cette fois-ci nous tirons une carte. Par contre, le calcul des probabilités que le croupier dépasse 21 ne suffirait plus puisque, si par exemple nous tirons un 2 ou un 3, il pourra faire égalité avec un 18 ou un 19, il faut donc le prendre en compte dans le calcul de l'espérance de notre 10-6 si nous tirons une carte contre son 9 initial. Si par exemple nous tirons un 2, pour 10-6-2 vs 9, il faut voir ce nous rapporte cette main. Quelles sont les probabilités pour le croupier de faire "entre 17 et 21" et de "buster" ? Le tableau ci-dessous nous le dit, et est maintenant basé sur 48 cartes dès lors que l'on en tire une :
 
  17 18 19 20 21 Bust
T, 6
0.7694 établi plus haut 
0.2304 établi plus haut
T, 6, As 0.1259 0.1093 0.3576 0.1076 0.0636 0.2360
T, 6, 2 0.1248 0.1045 0.3553 0.1265 0.0565
0.2324
T, 6, 3
0.1244
0.1060 0.3532
0.1265
0.0621 0.2278
T, 6, 4 0.1257 0.1054 0.3546 0.1243 0.0619 0.2281
T, 6, 5
0.1252 0.1060 0.3549 0.1256 0.0598 0.2285
 
Avec notre 18 composé de 10-6-2, la probabilité que le croupier perdre la main est de 0.1248 (il fait 17 et doit s'arrêter) + 0.2324 (il bust) soit 0.3572 et la probabilité pour que le croupier gagne est de (0.3553 + 0.1265 + 0.0565) = 0.5383. Notre espérance est de +3572 - 0.5383 = -0.1811. De la même manière, nous établissons le tableau suivant :
 
Cartes tirées par le joueur
Pour un total de :
Avec la probabilité de :
Avec l’espérance associée :
Qui nous donne :
As 17 4/49 (-0.4021) (-0.0328)
2 18 4/49 (-0.1811) (-0.0148)
3 19 4/49 0.2696 0.0220
4 20 4/49 0.7519 0.0614
5 21 4/49 0.9402 0.0768
carte de bust >21 29/49 (-1.000) (-0.5918)
 

Espérance : 

(-0.4793)

 
Résultat 
 
Si nous restons, notre espérance est de - 0.5392
Si nous tirons, notre espérance est de -0.4793
Nous devrions donc tirer un 10-6 vs 9.
 
Voilà comment se calculerait la SB, pour les 20 totaux possibles (de 2 à 21), et pour les 55 mains qui arrivent "entre 2 et 21"(Normalement, les Soft sont mis et étudiés à part. Voir l'explication)... 
 
2 = AA
3= A2
4= A3, 2-2
5= A4, 3-2
6= A5, 4-2, 3-3
7= A6, 4-3, 5-2
8= A7, 6-2, 5-3, 4-4
9= A8, 7-2, 6-3, 5-4
10= A9, 8-2, 7-3, 6-4, 5-5
11= 9-2, 8-3, 7-4, 6-5
12= T2, 9-3, 8-4, 7-5, 6-6
13= T3, 9-4, 8-5, 7-6
14= T4, 9-5, 8-6, 7-7
15= T5, 9-6, 8-7
16= T6, 9-7, 8-8
17= T7, 9-8
18= T8, 9-9
19= T9
20= TT
21= AT
 
...contre les 10 upcard du croupier, pour une main de deux cartes, puis trois cartes...etc. Aussi, par définition, le calcul de la SB est "composition dependent", c'est-à-dire qu'il faut établir la meilleure décision pour la main en prenant en considération les cartes qui la compose. Par exemple, un 18 peut se faire avec T+8 ou T+6+2 ou 2+2+2+2+4+6 etc... Mais, pour des raisons de simplicité, de clarté, et surtout mathématiques (le joueur n'y perd pas tant que ça par rapport au risque d'erreur qu'il encourt), le tableau de la SB est "total dependent": un 18 est un 18, qu'importent les cartes qui le composent.
"Nonobstant ces nombreuses espérances « composition dependant » (qui taxent la mémoire et peuvent être ignorées à un coût total pour le joueur de 0.04% tout au plus) nous définirons la SB « total dépendant », en reconnaissant qu’elle est une simplification pour la commodité du lecteur."
Peter Griffin - The Theory of Blackjack chapitre2
"La SB peut être soit dépendante du total (Total Dependant = TD) ou dépendante de la composition (Composition Dependant = CD). La TD ne prend en compte que le total de votre main et la carte du croupier. La CD requière la connaissance de la carte du croupier, ainsi que le nombre de cartes composant votre main (N. Et son total aussi). Par exemple, la TD nous dit de rester sur un 12vs4. Alors que la CD pour un 12vs4 prend en compte la façon dont se compose votre 12. Avez-vous 7-5, 8-4, 3-2-2-5, ou autre ? Si votre 12 est un 10-2 ou un 2-10 (le 10 signifie n’importe quelle carte valant 10), et que 2 ou plus de decks sont utilisées (7 ou plus si S17) vous devriez tirer. Si vous avez votre 12 par n’importe quelle autre façon, ou si suffisamment de decks sont utilisées, vous devriez rester. Voyez pour ceci le livre de Peter Griffin The theory of Blackjack pour une intéressante discussion à propos de cette CD. Il y a peu de différences entre ces deux SB pour 1 decks, et pas si importante que cela pour plusieurs decks. (Plus grand est le nombre de decks utilisées, plus mince est la différence). Nous utiliserons ici la SB « dépendante du total".
Stanford Wong - Professionnal Blackjack chapitre 2
 
Une espèce de dérogation subsiste cependant : tirer à 16 vs 10 SAUF si votre 16 se compose de 3 cartes ou plus, et rester quand le soft18 vs As est composé d'au moins 4 cartes. La chose la plus importante est de savoir qu'il existe une et une seule SB pour un ensemble de règles donné (nombre de paquet compris). Pour illustrer ceci, rendez-vous ici http://www.beatingbonuses.com/houseedge.htm et amusez-vous à changer quelques règles (nb de paquet / abandon ou pas / etc...) vous remarquerez que la grille SB n'est très souvent jamais la même.
 
Règles en France : 6 jeux, S17, DoA, DAS, Ab, ENHC
 
AB = Abandonner
AB/R = Abandonner ou Rester si l'abandon n'est plus possible
AB/T = Abandonner ou Tirer si l'abandon n'est plus possible
T = Tirer
R = Rester
D = Doubler
S = Splitter
 
Ne jamais prendre l'assurance si vous jouez la stratégie de base (voir pourquoi
 
 
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